4.3 反正切函数和反余切函数 1.素质教育目标 （一）知识教学要点 1.反正切函数和反余切函数的定义、形象和性质。 2.反正切和反余切函数的运算。 （二）能力培养要点 1、理解反正切、反余切函数的定义，并根据图像得到其性质，进一步提高学生将数字与形状结合的能力。 2.掌握反正切、反余切的三角运算以及正、余切函数的反正切、反余切运算，不断提高学生综合运用知识的能力。 （三）道德教育的切入点通过对反正切、反余切函数的研究，学生不难发现，它们虽然与反正弦、反余弦函数不同，但研究方法却完全相同，有些性质也十分相似。 为此，教学过程中要注重引导学生透过现象看本质，让学生通过把握事物的本质特征来认识事物的发展趋势，不断提高学生的认知能力，自觉接受事物的本质。辩证唯物主义认识论的观点。 二、教学重点、难点、疑点及解决办法 1、教学重点：反正切、反余切函数的定义、形象和性质 2、教学难点：反正切、反余切函数的定义。 3、教学疑点：反正切、反余切函数与反正弦、反余弦有很多相似之处，但又不一样。 教学过程中要注意引导学生区分。 3. 课程安排建议为2节课。 4.教学流程设计第1课（1）复习介绍：我们之前学过反正弦函数和反余弦函数。 大家知道，为了建立这两个函数，我们采用了控制自变量范围的方法。 函数变成1比1。根据正函数和余切函数的特点，思考一下x应该分别控制在什么范围内进行研究？ 老师：注意，这两个区间都是开区间，与反正弦、反余弦无关。 教师：接下来让学生思考如何定义反正切函数和反余切函数（学生叙述，教师板书）。 将其记录为 y=。 余切函数 y=ctgx(x(0,π)) 的反函数称为反余切函数，记为 y=。 师：请考虑一下反正切函数和反余切函数的定义域和取值范围是什么？ 余切函数的定义域为(-,+)，取值范围为(0,π)。 师：我们还是要从三个方面来理解反正切和反正余切的定义余切函数，对于(0,π)。 3与其对应的正切值和余切值分别基于反正切和反正切函数的定义，即其含义为3。 我们可以得到两个基本关系表达式： tg()=x, x(-, + )． ctg()=x,x(-,+)． 求下列表达式的值： 教师：请学生根据反正切和反正切的含义完成计算（请学生口头回答）。 求下列表达式的值： 师：根据本例的答案，请学生思考下面两个表达式成立的条件是什么？ arctg(tgx)=x，(ctgx)=x． 练习：求arctg[tg(-2)]（请同学在黑板上做。）arctg[tg(-2)]=arctg[tg(π-2)]=π-2． 师：这题利用变换，将不在反余切函数取值范围内的角度转换成其内的角度，这样就可以解决问题了。 每个人都应该善于运用这个方法。 师：这道题是关于角相等的问题。 我们之前已经处理过这个问题了。 请回忆一下这种问题是如何解决的？ 根据三角函数的单调性，我们得出结论它们相等。 师：这题的两个未知角都在等号的一侧。 我们应该如何对待他们呢？ 师：根据出现的反三角函数，应该选择哪个三角函数？ 生：正切或余切。 师：请学生根据刚才的讨论自行完成证明（老师会检查并注意个别指导）。 （3）练习P.283中。练习1、3、4、5。 （4）小结1.反正切、反余切的定义和意义（略）2.基本关系表达式：tg()=x,xR； ctg()=x,xR。 5. 作业教材 P. 285-286 练习 19 9, 10, 12. 6. 黑板设计第 2 课 1. 教学过程设计 (1) 复习者：前面我们学过反正弦、反余弦、反正切、反余切函数的定义。 我们将这四个函数统称为反三角函数。 如果用y=arcx来表示这些函数，请学生说出它们的含义。 arcx代表一个角度，2。这个角度属于它的值。 该角的同名三角函数的值等于x。 师：我们知道，反三角函数中的每个函数都有两个基本的关系式。 让我们尝试根据上述约定来表达它们。 学生：1(arcx)=x余切函数，x属于相应反函数的定义域。 2arc(x)=x，x属于相应反函数的取值范围。 （教师对上述表达式进行指导。） （2）绪论 教师：今天我们继续学习反正切函数和反余切函数的图像和性质。 我们仍然从两个函数的原函数的图像开始英语作文，使用彼此的逆函数。 进行函数的函数图之间的关系。 师：请打开课本，阅读第281页图4-6、4-7。 记住反正切函数和反正切函数的图形的位置和形状（让学生观察一段时间后，请同学画一个草图，老师会进行批改）。 师：要想准确地画出他们的形象（图4-5、图4-6），就必须画虚线。 它们被称为渐近线。 下面我们可以根据图像（学生叙述、老师板书）轻松求出它们的单调性。 (1) 反正切函数 y= 是区间 (-, +) 上的增函数； 反余切函数 y= 位于区间 (-, +) ) 上，是递减函数。 教师：让学生根据图形判断反正切函数的奇偶性（学生回答，教师板书）。 (2)反正切函数y=是奇函数，即arctg(-x)=-。 师：从反余切函数的图形来看，它既不是奇函数，也不是偶函数，但它具有以下性质。 (3)(-x)=π-,x(-,+)。 其证明与反余弦函数性质2的证明类似。 要求学生课后自行完成。 （表格预先画在软黑板上，挂起来。） （4）举例求函数y=||的单调区间。 解：函数的定义域是x(-,+)。 函数 y=|| 的图像（草图） 如图4-7所示：可以得到函数的单调递减区间为[-,0]。 函数的单调递增区间为[0,+]。 x=(-y)=π-． 因此，原函数的反函数为： y=π-解： 由不等式()2-+2>0得。 可用：<1 或 >2。 根据反正切函数的单调性，可以得到x<tg1。 师：上面三个例子的答案都是利用反正切函数和反余切函数的性质或图像来解决问题。 所以希望大家能够记住反函数的图像和性质。 但从上面总结的表格来看，内容很多，而且有很多雷同和混乱的地方，死记硬背是行不通的。 和以前一样，我们只需要记住图像，然后我们就可以根据图像本身推断出属性。 （5）练习P。283中的练习2。 （6）总结表中的内容，并与学生一起朗读。 2.作业课本P.286中练习19,11,13 3.板书设计#G%J)N@37^!H*L+0`4.

%I(M=26:#G&K-0@37^!H*L+1~5.%J)M=26:#G&K-07^$%J)N=26:!G&K-0`4. 7^(L+1~5;%J)N@36:!H&K-0`4. #F%J)N@37:!H*L-0`4。 #G&J)N@37^!H*L+1`4。 $I(M=26:#G&K-N@37^!H*L+1~5.%J(M=26:#G&K-0 7^$H *L+1~5;9 %J)N =26: D#G&K -0`4 7 ^ QwUAY (L+1~5;%J)N@36:!H&K-0 `4。

8^bl #F%J)N@36:!H*L-0`4。 8 #G&K-0@37^$H*L+1~5; $I(M=26:#G&K-N@ 37^!H* L+1~5.7^$H *L+1~5;9 %J)N=26: D#G&K -0`4. 7 ^ QwUAY (L+1~5;%J )N@36:!H&K-0 `4.8 #F%J)N@37:!H*L-0`4.8 #G&K-0@37^$H* L+1~5； 7^ L+1~5;%J)N@26:!G&K-0 `4.8^bl (M+1~5;%J)N@36:!H*K-0 `4.8